समाकलन intlimits_0^{frac{1}{2}} frac{ln(1 + 2 | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + (2x)^2} dx$.$2x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$2 dx = \sec^2 	heta d	heta$,जिससे $dx

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$\frac{\pi}{16} \ln 2$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + (2x)^2} dx$.$2x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$2 dx = \sec^2 	heta d	heta$,जिससे $dx = \frac{1}{2} \sec^2 	heta d	heta$ प्राप्त होता है।जब $x = 0$,तब $	heta = 0$. जब $x = 1/2$,तब $	heta = \pi/4$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int\limits_0^{\pi/4} \frac{\ln(1 + 	an 	heta)}{1 + 	an^2 	heta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 	heta d	heta$चूंकि $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$,व्यंजक सरल हो जाता है:$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an 	heta) d	heta$  --- $(1)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an(\pi/4 - 	heta)) d	heta$$	an(A-B) = \frac{	an A - 	an B}{1 + 	an A 	an B}$ सूत्र का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(1 + \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}ight) d	heta$$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{1 + 	an 	heta + 1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}ight) d	heta = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{2}{1 + 	an 	heta}ight) d	heta$$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} (\ln 2 - \ln(1 + 	an 	heta)) d	heta$$I = \frac{1}{2} \ln 2 \cdot [	heta]_0^{\pi/4} - \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an 	heta) d	heta$$I = \frac{1}{2} \ln 2 \cdot \frac{\pi}{4} - I$$2I = \frac{\pi}{8} \ln 2 \implies I = \frac{\pi}{16} \ln 2$.

समाकलन $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^{\pi /2} {x\cot x\,dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{96 x^2 \cos^2 x}{1+e^x} dx = \pi(\alpha \pi^2 + \beta)$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$,तो $(\alpha + \beta)^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_0^{2a} f(x) dx - \int_a^{2a} f(x) dx =$

$ \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{10-x}} d x $ का मान है

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